编者按：本文节选自图灵程序设计丛书《深度学习入门》一书中的部分章节。

神经网络的例子

用图来表示神经网络的话，如图 1 所示。我们把最左边的一列称为 输入层 ，最右边的一列称为 输出层 ，中间的一列称为 中间层 。中间层有时也称为 隐藏层 。“隐藏”一词的意思是，隐藏层的神经元（和输入层、输出层不同）肉眼看不见。另外，本书中把输入层到输出层依次称为第 0 层、第 1 层、第 2 层（层号之所以从 0 开始，是为了方便后面基于 Python 进行实现）。图 1 中，第 0 层对应输入层，第 1 层对应中间层，第 2 层对应输出层。

图 1　神经网络的例子

图 1 中的网络一共由 3 层神经元构成，但实质上只有 2 层神经元有权重，因此将其称为“2 层网络”。请注意，有的书也会根据构成网络的层数，把图 1 的网络称为“3 层网络”。本书将根据实质上拥有权重的层数（输入层、隐藏层、输出层的总数减去 1 后的数量）来表示网络的名称。

只看图 1 的话，神经网络的形状类似上一章的感知机。实际上，就神经元的连接方式而言，与上一章的感知机并没有任何差异。那么，神经网络中信号是如何传递的呢？

复习感知机

在观察神经网络中信号的传递方法之前，我们先复习一下感知机。现在来思考一下图 2 中的网络结构。

图 2　复习感知机

图 2 中的感知机接收 $x_1$ 和 $x_2$ 两个输入信号，输出 $y$。如果用数学式来表示图 2 中的感知机，则如式（3.1）所示。

$y=\begin{cases}0&(b+w_1x_1+w_2x_2\leqslant0)\1&(b+w_1x_1+w_2x_2>0)\end{cases}\quad\quad\quad\quad\quad(3.1)$

$b$ 是被称为偏置的参数，用于控制神经元被激活的容易程度；而 $w_1$ 和 $w_2$ 是表示各个信号的权重的参数，用于控制各个信号的重要性。

顺便提一下，在图 2 的网络中，偏置 $b$ 并没有被画出来。如果要明确地表示出 $b$，可以像图 3 那样做。图 3 中添加了权重为 $b$ 的输入信号 1。这个感知机将 $x_1$、$x_2$、1 三个信号作为神经元的输入，将其和各自的权重相乘后，传送至下一个神经元。在下一个神经元中，计算这些加权信号的总和。如果这个总和超过 0，则输出 1，否则输出 0。另外，由于偏置的输入信号一直是 1，所以为了区别于其他神经元，我们在图中把这个神经元整个涂成灰色。

现在将式（3.1）改写成更加简洁的形式。为了简化式（3.1），我们用一个函数来表示这种分情况的动作（超过 0 则输出 1，否则输出 0）。引入新函数 $h(x)$，将式（3.1）改写成下面的式（3.2）和式（3.3）。

$y=h(b+w_1x_1+w_2x_2)\quad\quad\quad\quad\quad(3.2)$

图 3　明确表示出偏置

$h(x)=\begin{cases}0&(x\leqslant0)\1&(x>0)\end{cases}\quad\quad\quad\quad\quad(3.3)$

式（3.2）中，输入信号的总和会被函数 $h(x)$ 转换，转换后的值就是输出 $y$。然后，式（3.3）所表示的函数 $h(x)$，在输入超过 0 时返回 1，否则返回 0。因此，式（3.1）和式（3.2）、式（3.3）做的是相同的事情。

激活函数登场

刚才登场的 $h(x)$ 函数会将输入信号的总和转换为输出信号，这种函数一般称为 激活函数 （activation function）。如“激活”一词所示，激活函数的作用在于决定如何来激活输入信号的总和。

现在来进一步改写式（3.2）。式（3.2）分两个阶段进行处理，先计算输入信号的加权总和，然后用激活函数转换这一总和。因此，如果将式（3.2）写得详细一点，则可以分成下面两个式子。

$a=b+w_1x_1+w_2x_2\quad\quad\quad\quad\quad(3.4)$

$y=h(a)\quad\quad\quad\quad\quad(3.5)$

首先，式（3.4）计算加权输入信号和偏置的总和，记为 $a$。然后，式（3.5）用 $h()$ 函数将 $a$ 转换为输出 $y$。

之前的神经元都是用一个○表示的，如果要在图中明确表示出式（3.4）和式（3.5），则可以像图 4 这样做。

图 4　明确显示激活函数的计算过程

如图 4 所示，表示神经元的○中明确显示了激活函数的计算过程，即信号的加权总和为节点 $a$，然后节点 $a$ 被激活函数 $h()$ 转换成节点 $y$。本书中，“神经元”和“节点”两个术语的含义相同。这里，我们称 $a$ 和 $y$ 为“节点”，其实它和之前所说的“神经元”含义相同。

通常如图 5 的左图所示，神经元用一个○表示。本书中，在可以明确神经网络的动作的情况下，将在图中明确显示激活函数的计算过程，如图 5 的右图所示。

图 5　左图是一般的神经元的图，右图是在神经元内部明确显示激活函数的计算过程的图（$a$ 表示输入信号的总和，$h()$ 表示激活函数，$y$ 表示输出）

下面，我们将仔细介绍激活函数。激活函数是连接感知机和神经网络的桥梁。

本书在使用“感知机”一词时，没有严格统一它所指的算法。一般而言，“朴素感知机”是指单层网络，指的是激活函数使用了阶跃函数 ¹ 的模型。“多层感知机”是指神经网络，即使用 sigmoid 函数（后述）等平滑的激活函数的多层网络。

^{1 阶跃函数是指一旦输入超过阈值，就切换输出的函数。}

图书简介：https://www.ituring.com.cn/book/1921

创作场景

深度学习入门（一）：神经网络