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见证历史!数学家张益唐北大讲座:本质上已证明“零点猜想”,111 页论文已公开

  • 2022-11-08
    北京
  • 本文字数:2282 字

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见证历史!数学家张益唐北大讲座:本质上已证明“零点猜想”,111页论文已公开

有数论学者表示,张益唐有关朗道-西格尔零点猜想的论文结果意义重大,使得以前的很多结果从假设性结果变成了确定性结果。

张益唐在北大作“零点猜想”学术报告


11 月 8 日上午 9 点,数学家张益唐在北京大学作“关于朗道-西格尔零点猜想”学术报告。张益唐表示,在本质上,他已经证明了朗道-西格尔零点猜想。只是像他此前关于孪生素数猜想的研究结果一样,其结果可以被改进。最新研究突破将有很多应用,带来很多定理。


换句话说,张益唐的最新论文表明,在特定范围内,朗道-西格尔零点不存在。在这一情况下,朗道-西格尔零点猜想正确或成立。(郎道-西格尔零点猜想要回答的核心问题就是:是否存在朗道-西格尔零点?)



资料显示,张益唐是加利福尼亚大学圣塔芭芭拉分校教授、山东大学潘承洞数学研究所所长、北京大学闵嗣鹤数论研究中心名誉主任、北京大学客座教授,曾在孪生素数猜想的研究中取得里程碑式的突破进展,受邀在 2014 年首尔国际数学家大会上做特邀报告,获罗夫·肖克奖-数学奖、弗兰克·奈尔森·科尔数论奖、麦克阿瑟天才奖等诸多奖项。


事实上,在张益唐之前,有很多数论专家都曾做过相关研究,但均没有成功。


关于攻克朗道-西格尔零点猜想的意义和重要性,张益唐的同事、数论学家 Stopple 曾说,如果张益唐能对此作出证明,那么加上他的上一份成就(关于孪生素数猜想的研究),在某种意义上,(其概率)就像是同一个人被闪电劈中两次。“如果他从未成名,那么做出这项工作也会让他跟上次一样被世界瞩目。”


究竟什么是朗道-西格尔零点猜想?为什么张益唐的研究成果能让数学界为之一震?

朗道-西格尔零点猜想


朗道-西格尔零点猜想的名字来源于两位著名的数学家:朗道和西格尔。朗道是德国数学家希尔伯特在数论领域的继承人,西格尔是朗道曾指导过的博士生,西格尔曾发现了一类特殊的函数—— L 函数理论中的西格尔零点现象。


作为数学界知名难题之一,朗道-西格尔零点猜想主要是想解决 L 函数是否存在异常零点这一问题,它是解决很多数论问题的瓶颈,并与已经悬置 160 多年的著名数学难题“黎曼猜想”相关。


据《中国科学报》介绍,简单说,如果存在朗道-西格尔零点,那么黎曼猜想就是错的;如果朗道-西格尔零点不存在,则不会和黎曼猜想发生冲突


也就是说,一旦证明了朗道-西格尔零点猜想,就可以取得很多新突破,简化和加强很多经典数论结果。无论是哪种结果,无疑都是数学史上里程碑式的事件。

111 页论文证明“零点猜想”


早在今年 10 月中旬,就有消息称“数学家张益唐已经攻克朗道-西格尔零点猜想”。


据悉,在 10 月 15 日北京大学大纽约地区校友会举办的“我的数学历程”线上活动中,张益唐提到,他已做完朗道-西格尔零点猜想相关工作,将于 11 月初发表论文。“我最近在数学上又作出了一个应该说是很大的成果。可以说是弱一点的形式,但本质上已经是解决了朗道-西格尔零点(猜想)问题。解析数论的同行会知道,这个问题的解决,可能比孪生素数猜想的意义更大。”


11 月 5 日,有消息称张益唐攻克朗道-西格尔零点猜想的论文已完成。11 月 7 日,该文论在 arXiv 上正式对外公开。网站信息显示,该论文提交时间为 2022 年 11 月 4 日。据悉,该论文的标题是《离散均值估计和朗道-西格尔零点》(Discrete mean estimates and the Landau-Siegel Zero),共 111 页,由 18 个部分组成。



据山东大学官微报道,11 月 5 日,张益唐教授曾面向山大师生作了一场关于朗道-西格尔零点猜想的线上学术报告,张益唐教授在报告中首先介绍了朗道-西格尔零点,以及它与算术级数中素数分布的关系。


张益唐教授从狄利克雷 L-函数和黎曼 zeta 函数讲起,介绍它们在算术级数中的素数分布和素数定理中的作用。随后,张益唐教授介绍了他在朗道-西格尔零点猜想研究方面的创新思想。张益唐教授在最新预印本论文里证明了,模 D 的实原特征 L-函数在区间

内没有实零点,这里 c 是绝对实效正常数。如果把这里的 2024 换成 1,就得到原始形式的朗道-西格尔零点猜想。2024 虽然大于 1,但在数学意义上,与 1 并没有实质性的差别。


也就是说,在这一区间内,朗道-西格尔零点不存在。


早在 2007 年,张益唐就曾做过朗道-西格尔零点问题的研究。


2007 年,张益唐在 arXiv 上刊发了“On the Landau-Siegel Zeros Conjecture”(关于朗道-西格尔零点猜想)的研究,不过彼时,该研究还存在一些“瑕疵”。时隔 15 年后,张益平再次上传有关朗道-西格尔零点猜想的论文。


对于这篇最新的研究论文, 英国数学家、牛津大学数学研究所退休教授 Roger Heath-Brown FRS 表示,“好好研读这篇论文需要很长时间,所以我现在还不能说它是否正确。但它写得很清楚,而且策略明智。”


有数论学者对澎湃新闻表示,“新论文尚未完整证明朗道-西格尔零点不存在,所以张益唐现阶段并没有完整解决朗道-西格尔零点猜想。同时,从张益唐的论文来看,其当前研究路线很可能无法最终解决朗道-西格尔零点猜想。”该数论学者认为,虽然这个结果证明不了朗道-西格尔零点猜想,但其“强度”已经足以在极大范围上排除西格尔零点。这种范围对于解析数论学者来说,足够将其应用到数论问题中,并得到大量有意义的结论。


该数论学者进一步解释道,以往的很多论文,要假设朗道-西格尔零点猜想成立(即假设西格尔零点不存在);张益唐的新论文虽然没有排除掉西格尔零点存在的可能性,但其排除掉的范围足够涵盖很多以往论文所需的范围。这使得以前的很多结果从假设性结果变成了确定性结果。


此外,该数论学者表示,论文从 2007 年版的 54 页扩到现在 2022 年版的 111 页,审稿会是一个大工作。“像这种论文,即使是顶尖的专业人士,把论文全部细节推一遍也得几个月,所以很难很快下定论。”

2022-11-08 14:193359

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吃瓜群众
2022-11-09 08:31 · 浙江
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